三角形の回転では、
$\displaystyle{\{e,r,l,a,b,c\}}$
という元を持った群を例に出しました。

この群は、

		$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{c}$
$\displaystyle{e}$		$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{c}$
$\displaystyle{r}$		$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{a}$
$\displaystyle{l}$		$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{b}$
$\displaystyle{a}$		$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{r}$
$\displaystyle{b}$		$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{l}$
$\displaystyle{c}$		$\displaystyle{c}$	$\displaystyle{b}$	$\displaystyle{a}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{e}$

のような関係が成り立っています。



それでは、この群の部分集合
$\displaystyle{\{e,r,l\}}$
を考えましょう。
この元だけで群表をつくると、

		$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{l}$
$\displaystyle{e}$		$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{l}$
$\displaystyle{r}$		$\displaystyle{r}$	$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{e}$
$\displaystyle{l}$		$\displaystyle{l}$	$\displaystyle{e}$	$\displaystyle{r}$

となります。

なんだか、この部分集合は、
独立してまた群となっていそうです。
ちゃんと、演算子に関しても閉じています。

このように、部分集合がまた独立して群となっているとき、
これを部分群と言います。

また、
$\displaystyle{\{e,a\}}$
$\displaystyle{\{e,b\}}$
$\displaystyle{\{e,c\}}$
と、これらの部分集合は２つの元しか含んでいないですが、
よく見てみるとこれも群の性質を満たしているため、半群になりそうですよね？



この群には、他にも以下のような部分群があります。
$\displaystyle{\{e,r,l,a,b,c\}}$
これは、もともとの群そのままですが、
これでも部分集合のページで話したように、
元の集合の部分集合になるため、 一応、部分群です。


$\displaystyle{\{e\}}$
また、これは単位元しか含んでいませんが、 これも部分群です。
元が１つしかないですが、これでも演算子に関して閉じています。
どんな群も、単位元を含みます。


よって、この群には、計６つの部分群があります。
$\displaystyle{\{e,r,l,a,b,c\}}$
$\displaystyle{\{e,r,l\}}$
$\displaystyle{\{e,a\}}$
$\displaystyle{\{e,b\}}$
$\displaystyle{\{e,c\}}$
$\displaystyle{\{e\}}$


ところで、
$\displaystyle{\{e,r,l,a,b,c\}}$
と
$\displaystyle{\{e\}}$
はあたりまえなので、
この２つを除いた残りの４つの部分群のことを、
真部分群と呼びます。
よって、この真部分群は以下の通りです。
$\displaystyle{\{e,r,l\}}$
$\displaystyle{\{e,a\}}$
$\displaystyle{\{e,b\}}$
$\displaystyle{\{e,c\}}$

つまり真部分群とは、
単位元のみ含む集合ではないもので、
しかも真部分集合であって、
群の構造をしているものです。

さて、他の部分群の例も示しましょう。

$\displaystyle{\mathbb{Z}}$つまり整数は＋に関して群です。
なぜなら、整数は足し算に関して閉じていて、
結合律も満たしており、
単位元「０」も含んでおり、
逆元「−ａ」を持つからです。

さて、例えば３の倍数である整数を全てあつめた集合を考えましょう。
$\displaystyle{\{\cdots,-6,-3,0,3,6,\cdots\}}$
これは、明らかに整数$\displaystyle{\mathbb{Z}}$の部分集合になりますが、
これもまた、群となりそうです。

だからこれは、整数の部分群になります。



他にも、
$\displaystyle{+}$という演算子に関して、
有理数は実数の部分群ですし、
整数は有理数の部分群です。



なんだか、探してみればもっといろいろ部分群が出てきそうですネ？？

ここで、部分群の定義をしっかりと定式化したいと思います。

群$\displaystyle{\mathbb{G}}$の部分集合$\displaystyle{\mathbb{H}}$が$\displaystyle{\mathbb{G}}$の部分群であるとは、

• $\displaystyle{a,b\in\mathbb{H}{\Rightarrow}\in\mathbb{H}}$
• $\displaystyle{(ab)c=a(bc)}$
• 単位元が存在
• 全ての元に対し逆元が存在

１番目の条件では、aとbがHに含まれていたら、abもHに含まれる、
つまり演算子に閉じていることを言ってます。
２番目の条件では、結合律が成り立つことを言っています。




・・・ところで、この条件は、もっと簡単にできます。

なぜなら、$\displaystyle{\mathbb{H}}$は$\displaystyle{\mathbb{G}}$の部分集合であり、
しかも$\displaystyle{\mathbb{G}}$は群ですので結合律を満たしています。
だからその部分集合である$\displaystyle{\mathbb{H}}$も当然結合律が満たされているはずです。

よって、部分群の条件の一つである「結合律」は、自明なことを言っているのであり、必要なくなります。


また、
「全ての元は逆元を持つ」という条件より、
ある元$\displaystyle{a}$と その逆元$\displaystyle{a^{-1}}$は両方とも$\displaystyle{\mathbb{H}}$に含まれており、
また「演算子に閉じている」という条件より、
$\displaystyle{aa^{-1}}$の結果もまた$\displaystyle{\mathbb{H}}$に含まれます。
当然、この結果は単位元となります。


つまり、「演算子に閉じている」と「全ての元は逆元を持つ」という二つの条件から自然に「単位元を持つ」という条件も導かれるのです。
だから、「単位元を持つ」という条件も必要なくなります。


以上のことより、部分群の定義は、より簡単なものにできます。

• $\displaystyle{a,b\in\mathbb{H}{\Rightarrow}ab\mathbb{H}}$
• 全ての元に対し逆元が存在

どうですか！？

部分群の定義は、一見４つの条件が必要そうにも見えましたが、
実は、２つの条件に減らすことができるのでした。



・・・しかし、実はもっと簡単にできます！！！！

以下のものが、最も単純な、部分群の定義です。


群$\displaystyle{\mathbb{G}}$の部分集合$\displaystyle{\mathbb{H}}$が$\displaystyle{\mathbb{G}}$の部分群であるとは、
$\displaystyle{a,b\in\mathbb{H}{\Rightarrow}a^{-1}b\in\mathbb{H}}$
となることである

どうですか？
あの部分群の定義も、一つの条件に抑えることができました。
この一つの条件さえ整えば、部分群であるということが証明できるのです。 (→なんで？)