まず実数
$\displaystyle{\mathbb{R}}$の通常の位相からやっていきます。
$\displaystyle{\mathbb{R}}$上の距離を
$\displaystyle{d(x,y)=|x-y|}$
と定義します。
そして
$\displaystyle{\mathscr{B}=\{U_{\varepsilon}(a)|\varepsilon \gt 0 , a \in \mathbb{X}\}}$
を求めます。
さてさて、このときは開球
$\displaystyle{U_\varepsilon(a)}$はどうなるかというと・・・
$\displaystyle{U_\varepsilon=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)}$
と、これは、位相のページの最初にでてきた“開区間”になることは分かりますか!?
よって
$\displaystyle{\mathscr{B}}$は、有界な開区間全体からなる集合だということが分かります。
はい!!通常の位相というものは、よく考えてみれば開区間を開基としたものです。
よって上で定義した距離
$\displaystyle{d}$からは
$\displaystyle{\mathbb{R}}$上の
通常の位相が誘導されることが分かります。
当然、開球を開基として位相空間を作るわけですから、
開球自身も開集合です。
当然、開区間は開集合ですよね?
さて、ここで重大な事実が分かりました。
まとめます:
$\displaystyle{\mathbb{R}}$上の通常の位相は、
$\displaystyle{\mathbb{R}}$の開球を基底とした位相空間である!!
また
$\displaystyle{\mathbb{R}}$の開球とは、有界な開区間
$\displaystyle{(a,b)}$のことである!!!